Question

【题目】如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求证：CA平分∠BCD；

（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理ASA即可证得．

（2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得．

（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC＝2AF．

（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA）．

（2）证明：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，

∴∠ACD＝∠E，

∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，

∴AF＝AM，

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，

∵AC＝AE，∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵AM⊥CE，

∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，

∴CM＝AM＝ME，

又∵AF＝AM，

∴EC＝2AF．