Question

如图，在计算机屏幕上有一梯形ABCD，AB∥CD，A在坐标原点，B（15，0），C（12.3），D（6，3），MN是垂直于x轴的一条直线，MN与梯形的边交于P，Q两点．当MN从y轴向右移动时．梯形中被MN扫过的部分将改变颜色．设AQ=x，颜色改变部分的面积为S，求以x为自变量S的函数关系式．

Answer 1

解：过D作DE⊥AB于E，分为三种情况：
①如图1，当P在AD上时，此时0≤x≤6，
∵D（6，3），
∴OE=6，DE=3，
∵MN⊥AB．DE⊥AB，
∴PQ∥DE，
∴△AQP∽△AED，
∴=，
∴=，
PQ=x，
∴S=S_△APQ=×AQ×PQ=•x•x=x²；

②如图2，P在DC上，此时6＜x≤12，
DP=EQ=x-6，PQ=DE=3，AQ=x，
S=S_{四边形ADPQ}=×（DP+AQ）×PQ=•（x-6+x）•3=3x-9；

③如图3，P在BC上，此时12＜x＜15，
过C作CF⊥AB于F
则PQ∥CF，
∵B（15，0），C（12.3），D（6，3），
∴CF=3，BA=15，BQ=15-x，BF=15-12，DC=12-6=6，
∵CF∥PQ，
∴△PQB∽△CFB，
∴=，
∴=，
PQ=15-x，
∴S=S_{五边形ADCPQ}
=S_梯形ABCD-S_△BPQ
=×（DC+AB）×CF-×BQ×PQ
=×（6+15）×3-•（15-x）•（15-x）
=-x²+15x-81，
④当x≥15时，S=S_梯形ABCD=×（6+15）×3=31.5；
综合上述，S=．
分析：过D作DE⊥AB于E，画出符合的四种情况，根据A、B、C、D的坐标求出PQ的值，根据面积公式求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和分段函数，关键是求出符合条件的所有情况，用了分类讨论思想．