题目内容

在直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=1，以AB为边作正方形ABCD（如图1）．
（1）求△AOB的面积；
（2）若∠AOB的平分线交AB于N，交DC于M，过N作NH⊥AO，垂足为H．连接AC交MN于Q（如图2）．
①试说明△ONH是等腰直角三角形；
②求AQ的长；
③点P为线段MO上的动点，若以点A、N、O为顶点构成的三角形和以点D、M、P为顶点构成的三角形相似，求MP的长．

解：（1）∵∠AOB=90°，AO=3，BO=1，
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ AO•BO= $\text{[math]}$ ×3×1=1.5；

（2）①∵ON是∠AOB的平分线，∠AOB=90°，
∴∠HON=∠NOB= $\text{[math]}$ ∠AOB=45°，OA⊥OB，
∵NH⊥OA，
∴NH∥BO，
∴∠HNO=∠NOB=45°，
∴∠HNO=∠HON=45°，
∴△ONH是等腰直角三角形；
②∵NH∥BO，
∴△AHN∽△AOB，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴NH= $\text{[math]}$ ON= $\text{[math]}$ ，
∴AN= $\text{[math]}$ BN= $\text{[math]}$ ，
∵在△AQN和△OBN中，∠QAN=∠NOB=45°，
∴∠ANQ=∠ONB，
∴△AQN∽△OBN，
∴AQ= $\text{[math]}$ ；
③Q为正方形的中心，
∴NB=MD，
∵AB∥CD，
∴∠DMN=∠ANO，
当∠DPM=45°时，△AON∽△DPM，MP= $\text{[math]}$ ，
当∠PDM=45°时，△AON∽△PDM，MP= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据直角三角形求面积的方法求解即可；
（2）①由角平分线与平行线的性质，即可求得∠HNO=∠HON=45°，则可得到△ONH是等腰直角三角形；
②由题意可得：△AHN∽△AOB，即可得到比例线段，求得NH与AN的值；又由△AQN∽△OBN，即可求得AQ的长；
③由正方形的性质，分别从当∠DPM=45°时，△AON∽△DPM，当∠PDM=45°时，△AON∽△PDM，两种情况考虑求解即可．
点评：此题考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定与性质等．解题的关键是注意识图，掌握数形结合思想的应用．