Question

如图，在直角三角形AOB中，∠OAB=30°，AB=4，S_△AOB=6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点P在线段OA上，
①当直线BP将△AOB分成面积相等的两部分时，求直线BP的解析式；
②PE⊥AB于E，连接BP．是否存在点P，使得PB与PE的和最小？若存在，请求出满足条件时点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵∠OAB=30°，AB=4，
∴OB=AB=×4=2，
∵S_△AOB=OB•OA=×2•OA=6，
∴OA=6，
∴点A、B的坐标为A（0，6），B（2，0）；

（2）①当点P为线段OA的中点时，直线BP将△AOB分成面积相等的两部分，
∴点P的坐标为（0，3），
设直线BP的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BP的解析式为y=-x+3；
②当E为线段AB的中点时，PE与PB的和最小．
理由如下：
作△AOB关于y轴的对称图形△AOC，
∵∠OAB=30°，
∴△ABC是等边三角形，
过点B作BF⊥AC交OA于点P，过点P作PE⊥AB，根据轴对称性可知PE=PF，根据垂线段最短可知点P为所求作的点，
根据等边三角形的性质，PA=PB，∠PBO=30°，
∴∠ABP=60°-30°=30°，
∴∠ABP=∠BAO=30°，
∴AP=BP，
在Rt△PBO中，∠PBO=30°，
∴PB=2PO，
∴OA=OP+AP=OP+2OP=6，
解得OP=2，
∴点P的坐标为（0，2）．
分析：（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，再利用三角形的面积公式求出AO的长度，从而得解；
（2）①根据三角形的面积公式求出OP的长，求出点P的坐标，再利用待定系数法列式求解即可；
②作△AOB关于y轴的对称图形△AOC，可得△ABC是等边三角形，作BF⊥AC，根据垂线段最短可得BF与y轴的交点就是所要求作的点P，求出∠BAP=∠ABP=30°，根据等角对等边可得AP=BP，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BP=2OP，然后代入数据求出OP的长度，从而求出点P的坐标．
点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线的解析式，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，以及轴对称的性质，综合性较强，作轴对称图形，找出点P的位置然后再进行说明求解．