Question

【题目】已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为__．

Answer 1

【答案】（，3）或（，1）或（2，﹣2）

【解析】

由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：

（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，当A'E：A'F=1：3时，求出A'E=1，A'F=3，由折叠的性质得：OA'=OA=4，∠OA'D=∠A=90°，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=，即可得出答案；

②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）；

（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，由A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，求出A'F=EF=BC=2，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=2，即可得出答案．

解：∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4），

∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7，

分两种情况：

（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：

①当A'E：A'F＝1：3时，

∵A'E+A'F＝BC＝4，

∴A'E＝1，A'F＝3，

由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，

在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝，

∴A'（，3）；

②当A'E：A'F＝3：1时，同理得：A'（，1）；

（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E＝1：3，则A'F：EF＝1：2，

∴A'F＝EF＝BC＝2，

由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，

在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝2，

∴A'（2，﹣2）；

故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．