题目内容

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，点A、B、C的坐标分别为（2，6），（8，6），（8，0）．动点F、D分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点F沿OC向终点C运动，点D沿BA向终点A运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点D作DE⊥AB，交OB于E，连接EF．已知动点运精英家教网动了x秒．
（1）x的取值范围为多少？
（2）E点的坐标为
 
；（用含x的代数式表示）
（3）试求△OFE面积的最大值，并求此时x的值．
（4）请你探索：△OFE能否成为以OF为底边的等腰三角形？如能请求出x的值．
分析：（1）根据题意易知AB＜CD，且知AB=6，故可求x的取值范围；
（2）过E作EG⊥BC于G，由于AB∥OC，可知∠OBE=∠COB，而∠EDB=∠BCO=90°，可证△BDE∽△OCB，再利用比例线段可求DE，而知四边形DEGB是矩形，那么易求点E的坐标；
（3）通过观察可知，在△OEF中，OF=x，OF边上的高EH=CG=
3
4
x，利用三角形面积公式有S△OFE=-
3
8
(x-4)2+6，再结合二次函数的性质，可求S的最大值，以及x的值；
（4）延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，当HF=HO且EH⊥OC（点F在点H的右边），则△OFE就可以OF为底边的等腰三角形，而OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，于是8-x=2x-8，解得x=
16
3
，并且x＜6，成立．
解答：精英家教网解：（1）∵AB=8-2=6，
∴0≤x≤6；

（2）过E作EG⊥BC于G，
∵AB∥OC，
∴∠OBE=∠COB，
∵∠EDB=∠BCO=90°，
∴△BDE∽△OCB，
∴DB：DE=OC：BC，
∴x：DE=8：6，
∴DE=
3
4
x，
又∵四边形DEGB是矩形，
∴EG=x，BG=
3
4
x，
∴E点坐标是：（8-x，6-
3
4
x）；

（3）设△OEF的面积为S，在△OEF中，OF=x，OF边上的高EH=CG=6-
3
4
x，
其中，0≤x≤6，
∴S=
1
2
x•（6-
3
4
x）=-
3
8
(x2-8x)=-
3
8
(x-4)2+6，
∴S的最大值为6，此时x=4；

（4）延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，
若HF=HO且EH⊥OC（点F在点H的右边），则△OFE就可以OF为底边的等腰三角形，
∵OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，
∴8-x=2x-8，
∴x=
16
3
（
16
3
＜6成立）．
点评：本题考查了自变量的取值范围、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定．解题的关键是过E作EG⊥BC于G，以及延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，构造矩形．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，平面直角坐标系中，O为直角三角形ABC的直角顶点，∠B=30°，锐角顶点A在双曲线y=
1x
上运动，则B点在函数解析式
 
上运动．
如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，-1），AB精英家教网=2
3
．
（1）求⊙P的半径．
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°，则点O的对应点C的坐标为（　　）
如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0．点D为线段OA上一动点，连接CD．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
；
（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y轴于点F，交CA于M．求
FC+2AE
3AM
的值．
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网