Question

【题目】如图，已知抛物线经过点，，三点．

求此抛物线的解析式；

若点是线段上的点（不与，重合），过作轴交抛物线于，设点的横坐标为，请用含的代数式表示的长；

在的条件下，连接，，是否存在点，使的面积最大？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在；当时，的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MNOB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．

设抛物线的解析式为：，则：

，；

∴抛物线的解析式：．

设直线的解析式为：，则有：

，

解得；

故直线的解析式：．

已知点的横坐标为，，则、；

∴故．

如图；

∵，

∴；

∴当时，的面积最大，最大值为．