Question

如图，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC．点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（1，2）．点M从O点出发以每秒2个单位的速度向终点A运动，同时点N从B出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP⊥x轴于P，连接AC交NP于Q，连接MQ．设点P，点Q运动的时间为t（s）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△AMQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t取何值时，△AMQ的面积最大；
（3）求t为何值时△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）已知点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（1，2），根据“两点法”可求直线AC的解析式；
（2）过B作BH⊥OA于H，根据等腰梯形的性质可求B点坐标，由直线AC的解析式可表示线段PQ，又由已知可表示AM，再表示△AMQ的面积，根据二次函数的性质求最大值；
（3）当△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形，有两种情况：①QM=QA，②QM=MA，可根据图形特征和勾股定理求解．

解答：解：
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把点A（4，0），C（1，2）代入得

4k+b=0 k+b=2

．
解得

k=- 2 3 b= 8 3

，
∴y=-

2

3

x+

8

3

（4分）

（2）过B作BH⊥OA于H，
∵C（1，2），由等腰梯形的性质
∴AH=1，则OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t
∵点Q是AC上的点
∴PQ=-

2

3

（3-t）+

8

3

（6分）
∵AM=OA-OM=4-2t
∴S=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（

2

3

t+

2

3

）=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

；
（8分）
当t=

1

2

时，S_最大=

3

2

（10分）

（3）有以下两种情形①QM=QA，由等腰三角形三线合一的性质
此时MP=AP，
即3-3t=t+1，t=0.5（2分）
②QM=MA，即QM²=MA²，由勾股定理得MP²+PQ²=MA²
即（3-3t）²+（

2

3

t+

2

3

）²=（4-2t）²，t1=

59

49

，t₂=-1（舍去）
∴当t=0.5或t1=

59

49

时，△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形．（2分）

点评：本题考查了直线解析式的求法，坐标系中三角形面积的表示方法，二次函数的最大值问题，及寻找等腰三角形的条件．