Question

若a，b为实数，且|a-1|+

ab-2

=0，求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+1999)(b+1999)

的值．

Answer 1

分析：两个互为非负数的和为零，这两个数一定是零；裂项求和，正、负数相消是有理数运算技巧之一．

解答：解：∵a，b为实数，当ab≥2，a≥1时，
|a-1|与

ab-2

均为非负数，
由非负数性质：

a-1=0 ab-2=0

∴a=1，b=2
∴

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+1999)(b+1999)

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2000×2001

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2000

-

1

2001

=1-

1

2001

=

2000

2001

．

点评：本题考查了两个知识点：有限个非负数的和为0，只有每一个非负数都为0；当每个分母中两个因数的差相等时，可以将每一个分数分为两个分数的差，寻找抵消规律解题．