题目内容

宽与长的比是
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-1
2
的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以精英家教网协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
分析：此题首先设出正方形的边长是2a，然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽，再进一步求得它们的比值，根据黄金矩形的概念即可判断．
解答：证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=
1
2
BC=a．
在Rt△DNC中，ND=
NC2+CD2
=
a2+(2a)2
=
5
a．
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=（
5 
-1）a．
∴
CE
CD
=
(
5
-1)a
2a
=
5
-1
2
．
故矩形DCEF为黄金矩形．
点评：考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值．
练习册系列答案
相关题目
图1是一张宽与长之比为
5
-1
2
：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．
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宽与长的比是
5
-1
2
的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，
（1）请你根据以上作图步骤画出图形；
（2）请证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）
小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
【再读教材】
宽与长的比是
5
-1
2
或
2
5
+1
（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．
下面，我们用宽为4cm的矩形纸片折叠一个黄金矩形．
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，如图④…
【问题解决】
（1）图③中AB=
2
5
2
5
cm（保留根号）；
（2）你发现图④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由；
（3）在图③中，连接BD，以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长．

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