Question

四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．
（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；
（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．

Answer 1

（1）设C关于AB的对称点为E，连接OE交AB于P．
则此时OP+PC为最小，OP+PC的最小值为OP+PC=OE=

82+42

=4

5

；

（2）作C关于AB的对称点G，关于AD的对称点F
则三角形CQR的周长=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF
而GF=2BD
∠CDB=∠CAB=45°
∠CBD=∠CAD=30°
在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，
BD=DH+BH
=4×cos45°+4

2

×cos30°
=2

2

+2

6

GF=4

2

+4

6

△CQR的周长的最小值为4

2

+4

6

．