Question

（2012•莆田）如图，一次函数y=k₁x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y=

k2

x

（x＞O）的图象相交于B、C两点．
（1）若B（1，2），求k₁•k₂的值；
（2）若AB=BC，则k₁•k₂的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k₁•k₂进行计算即可得解；
（2）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k₁、k₂的关系式，整理即可得解．

解答：解：（1）∵A（0，3），B（1，2）在一次函数y=k₁x+b的图象上，
∴

b=3 k1+b=2

，
解得

k1=-1 b=3

；
∵B（1，2）在反比例函数y=

k2

x

图象上，
∴

k2

1

=2，
解得k₂=2，
所以，k₁•k₂=（-1）×2=-2；

（2）k₁•k₂=-2，是定值．
理由如下：∵一次函数的图象过点A（0，3），
∴设一次函数解析式为y=k₁x+3，反比例函数解析式为y=

k2

x

，
∴k₁x+3=

k2

x

，
整理得k₁x²+3x-k₂=0，
∴x₁+x₂=-

3

k1

，x₁•x₂=-

k2

k1

∵AB=BC，
∴点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，不妨设x₂=2x₁，
∴x₁+x₂=3x₁=-

3

k1

，x₁•x₂=2x₁²=-

k2

k1

，
∴-

k2

2k1

=（-

3

3k1

）²，
整理得，k₁•k₂=-2，是定值．

点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，（2）中根据AB=BC，得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．