Question

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．

(Ⅰ)试比较EO、EC的大小，并说明理由；

(Ⅱ)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点，且QF＝，抛物线y＝mx²＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；

(Ⅳ)在(Ⅲ)的条件下，若抛物线y＝mx²＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)EO＞EC，理由如下： 　　由折叠知，EO＝EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC　　2分 　　(Ⅱ)m为定值 　　∵S四边形CFGH＝CF2＝EF2－EC2＝EO2－EC2＝(EO＋EC)(EO―EC)＝CO·(EO―EC) 　　S四边形CMNO＝CM·CO＝|CE―EO|·CO＝(EO―EC)·CO 　　∴　　4分 　　(Ⅲ)∵CO＝1，∴EF＝EO＝ 　　∴cos∠FEC＝∴∠FEC＝60°， 　　∴ 　　∴△EFQ为等边三角形， 　　作QI⊥EO于I，EI＝，IQ＝ 　　∴IO＝∴Q点坐标为 　　∵抛物线y＝mx2＋bx＋c过点C(0，1)，Q，m＝1 　　∴可求得，c＝1∴抛物线解析式为　　8分 　　(Ⅳ)由(Ⅲ)， 　　当时，＜AB 　　∴P点坐标为∴BP＝AO， 　　若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： 　　①时，∴K点坐标为或 　　②时，∴K点坐标为或 　　故直线KP与y轴交点T的坐标为　　10分