Question

（2012•庆元县模拟）已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象与BC边交于点F．
（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，记S=S_△OEF-S_△ECF问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别用点E，F的坐标表示出△AOE与△FOB的面积，再用S₁+S₂=2，进行求解；
（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；
（3）由（2）点E的纵坐标为3已求，利用折叠以及相似求得点E的横坐标即可得出答案．

解答：解：（1）∵点E、F在函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴设E（x₁，

k

x1

），F（x₂，

k

x2

），x₁＞0，x₂＞0，
∴S1=

1

2

x1

k

x1

=

K

2

，S₂=

1

2

x2

k

x2

=

K

2

，
∵S₁+S₂=2，
∴

K

2

+

K

2

=2，
∴k=2；

（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E(

k

3

，3)，F(4，

k

4

)，
∴S△ECF=

1

2

EC•CF=

1

2

(4-

1

3

k)(3-

1

4

k)，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=12-

1

2

k-

1

2

k-S_△ECF，
=12-k-S_△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF，
=12-k-2S_△ECF，
=12-k-2×

1

2

（4-

1

3

k）（3-

1

4

k），
∴S=-

1

12

k2+k．
当k=-

1

2×(- 1 12 )

=6时，S有最大值．S最大值=

-1

4×(- 1 12 )

=3．
此时，点E坐标为（2，3），即点E运动到AC中点．

（3）设存在这样的点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-

1

3

k，MF=CF=3-

1

4

k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△ENM∽△MBF．
∴

EN

MB

=

EM

MF

，
∴

3

MB

=

4- 1 3 k

3- 1 4 k

=

4(1- 1 12 k)

3(1- 1 12 k)

，
∴MB=

9

4

．
∵MB²+BF²=MF²，
∴(

9

4

)2+(

k

4

)2=(3-

1

4

k)2，
解得k=

21

8

．
∴EM=EC=4-

k

3

=

25

8

，
故AE=

7

8

．
∴存在符合条件的点E，它的坐标为（

7

8

，3）．

点评：此题综合性比较强，把反比例函数的图象和性质，图形的面积计算，二次函数最值的计算放在矩形的背景中，综合利用这些知识解决问题．在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．