Question

17．如图，已知抛物线方程：y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若抛物线过点P（-6，-10），求实数m的值；
（2）求△AOC的面积；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点P代入解析式即可求出m的值；
（2）令x=0代入解析式即可求出y=1，所以点C的坐标为（0，2），又易求得A（-2，0），所以OC和OA的长度可知，代入三角形面积公式即可求得答案；
（3）A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，由于三角形ABF的不确定性，所以分以下两种情况讨论，①∠CBA=BAF；②∠CAB=∠BAF；

解答 解：（1）将P（-6，-10）代入y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∴-10=-$\frac{1}{m}$×（-4）×（-6-m），
∴m=4；

（2）令x=0代入y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∴y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2
∴令y=0代入y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∴x=-2，x=m，
∴A（-2，0），
∴AO=2，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•OC=2，

（3）过点A作AF∥CB交抛物线于点F，过点F作FF′⊥x轴于点F′，
∴∠BAF=∠CBA，
∴当$\frac{BC}{BA}=\frac{AB}{AF}$时，△FAB∽△ABC，
设点F的坐标为（x，-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）），
由△FF′A∽△COB得：$\frac{FF′}{AF′}$=$\frac{CO}{BO}$，
∴$\frac{\frac{1}{m}（x+2）（x-m）}{x+2}=\frac{2}{m}$，
∴x=m+2，
∴F′（m+2，0），
由勾股定理可求得：BC=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∵$\frac{BO}{BC}=\frac{AF′}{AF}$，
∴$\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=$\frac{m+4}{AF}$，
∴AF=$\frac{（m+4）\sqrt{{m}^{2}+4}}{m}$，
∴（m+2）²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$×$\frac{（m+4）\sqrt{{m}^{2}+4}}{m}$，
∴解得：0=16，此方程无解，
作∠BAF=45°交抛物线于点F，过点F作FF′⊥x轴于点F′，
∴∠CAB=∠BAF，
∴当$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AF}$时，△AFB∽△ABC，
在Rt△AFF′中，由于FF′=AF′，
得：$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）=x+2，解得：x=2m，
∴F（2m，0），
∴AF′=2m+2，AF=$\sqrt{2}$（2m+2），
∵AB²=AC•AF，
∴（m+2）2=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$（2m+2），
解得：m=2±2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2+2$\sqrt{2}$，
综上所述，m的值为2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解方程，分类讨论的思想，内容较为综合，考查学生分类讨论的思想和综合运用知识的能力．