Question

如图，在平面直角坐标系中，将2个正方形并排组成矩形OABC，使点B落到x轴的正半轴上且OC=

5

．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+

5

2

x过矩形OABC的顶点C．
①求a的值；
②将抛物线向右平移m个单位，使平移后得到的抛物线与线段CB无交点，求m的取值范围．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析：（1）作CO⊥x轴于D点，易得Rt△OCD∽Rt△OBC，则CD：BC=OD：OC，可得到CD：OD=2：1，然后根据勾股定理可计算出OD，这样就确定了C点坐标；
（2）①把C点坐标代入二次函数解析式中可求出a的值；
②先利用勾股定理计算出OB=5，观察函数图象得到抛物线向右平移使点B在平移后的抛物线上时，原抛物线要向右平移5个单位，若平移后的抛物线与线段CB无交点，则向右平移的单位要大于5．

解答：解：（1）作CO⊥x轴于D点，如图，
∵∠OCB=90°，
∴Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴CD：BC=OD：OC，即CD：2

5

=OD：

5

，
∴CD：OD=2：1，
在Rt△OCD中，OD²+DC²=OC²，
∴OD²+4OD²=5，
解得OD=1，
∴CD=2，
∴C点坐标为（1，2）；

（2）①把C（1，2）代入y=ax2+

5

2

x得a+

5

2

=2，
∴a=-

1

2

；
②∵y=-

1

2

x²+

5

2

x=-

1

2

（x-

5

2

）²+

25

8

，
∴此抛物线向右平移m个单位，平移后得到的抛物线的解析式为y=-

1

2

（x-

5

2

-m）²+

25

8

，
在Rt△OBC，∵OB=

OC2+BC2

=5，
∴将抛物线向右平移m个单位，使平移后得到的抛物线与线段CB无交点，m的取值范围为m＞5．

点评：本题考查了二次函数的综合题．先根据几何条件确定抛物线上点的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式，然后运用二次函数的性质解决有关问题．