Question

已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

                                          
                                         图①                                                 图②

Answer 1

解：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q， ∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4， ∴AQ=AB=×4=2， ∠APQ=∠APB=×120°=60°， 在Rt△APQ中，sin∠APQ=， ∴AP==sin60°＝4； （2）过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T， ∴∠OSP=∠OTP=90°， 在四边形OSPT中， ∠SPT=360°﹣∠OSP﹣∠SOT﹣∠OTP =360°﹣90°﹣60°﹣90° =120°， ∴∠APB=∠SPT=120°， ∴∠APS=∠BPT， 又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP， ∴△APS≌△BPT， ∴PS=PT， ∴点P在∠MON的平分线上； （3）①8+4；②4+4<t≤8+4．