Question

如图，点D的坐标为（0，1），直线y=-2

2

x-8与x轴、y轴分别交与C、P两点，以D为圆心，DC为半径做⊙D，⊙D交y轴于A、B两点．
（1）求线段PC的长；
（2）试判断直线PC与⊙D的位置关系，并加以证明；
（3）在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOC=S_△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出点C、点P的坐标，继而可求出PC的长度；
（2）分别求出DC、DP的长度，结合PC的长度，利用勾股定理的逆定理可判断∠DCP=90°，也可判断出直线PC与⊙D的位置关系；
（3）先求出△CDO的面积，设点E的坐标为（x，-2

2

x-8），根据S_△EOC=S_△CDO可得出方程，解出即可．

解答：解：（1）直线y=-2

2

x-8，
令x=0，可得y=-8，即点P的坐标为（0，-8），
令y=0，可得x=-2

2

，即点C的坐标为（-2

2

，0），
在Rt△OCP中，PC=

OC2+OP2

=6

2

；

（2）由题意得，PD=OD+OP=9，PC=6

2

，
在Rt△OCD中，CD=

OD2+OC2

=3，
∵CD²+PC²=DP²，
∴△DCP是直角三角形，∠DCP=90°，
∴DC⊥CP，
又∵DC是⊙D的半径，
∴PC是⊙D的切线，
∴PC与⊙D的位置关系是相切．

（3）存在点E的坐标．
由题意得，S_△CDO=

2

，
设点E的坐标为（x，-2

2

x-8），
∵S_△EOC=S_△CDO，
∴

1

2

×2

2

×|-2

2

x-8|=

2

，即2

2

x+8=±1，
解得：x=-

9 2

4

或-

7 2

4

，
当x=-

9 2

4

时，点E的坐标为（-

9 2

4

，1）；
当x=-

7 2

4

时，点E的坐标为（-

7 2

4

，-1）．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形的面积及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是熟练各个知识点，将所学知识融会贯通．