Question

如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：几何图形问题

分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；
（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离．

解答：解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，
根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设CD的长为x海里，
在Rt△ACD中，tan42°=

AD

CD

，则AD=x•tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°=

BD

CD

，则BD=x•tan55°，
∵AB=80，
∴AD+BD=80，
∴x•tan42°+x•tan55°=80，
解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；
（2）在Rt△BCD中，cos55°=

CD

BC

，
∴BC=

CD

cos55°

≈60海里，
答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．

点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线．