Question

如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）求证：

AH

GF

=

1

1+tan15°

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．
（2）先确定△GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．
（3）因为△BEG是等边三角形，∠ABC=90°，∠ABE=∠CBG，从而求得∠ABE=15°，然后通过求得△AHB∽△FGB，即可求得．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∵AE=CF，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF∥AC，

（2）连接BG，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠ACB=45°，
∵∠GCF=90°，
∴∠CGF=∠F=45°，
∴CG=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CG，
在△BAE与△BCG中，

AB=BC ∠BAE=∠BCG=90° AE=CG

，
∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE=BG，
∵BE=EG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BEF=60°，

（3）∵△BAE≌△BCG，
∴∠ABE=∠CBG，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴△AHB∽△FGB，
∴

AH

GF

=

AB

BF

=

1

BF AB

=

1

BC+CF AB

=

1

AB+AE AB

=

1

1+ AE AB

=

1

1+tan∠ABE

，
∵∠EBG=60°∠ABE=∠CBG，∠ABC=90°，
∴∠ABE=15°，
∴

AH

GF

=

1

1+tan15°

．

点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，连接BG是本题的关键．