题目内容

如图，在Rt△ABO中，OB=8,tan∠OBA=.若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在轴负半轴上，且OB＝4OC.若抛物线经过点A、B、C .

1.求该抛物线的解析式

2.设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积

3.有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S .

①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

②判断在①的过程中,t为何值时，△OMN 的面积最大？

 

 

1.Rt△AOB中,OB=8,

∴OA=6    ∴A(6,0)    B

又OB=4OC    ∴OC=2     ∴C

由题意  解得   

∴                                  3分

2.

     

     

∴                                        4分

作PQ⊥轴

∴,  

∴

                                              6分

3.∵AO=6,  OB=8     ∴AB=10

运动的总时间为:(秒)

①当时, M在OA上,N在OB上,如图

∴                      7分

当时,如图,

M在OA上,N在AB上.

OM=

又    ∴

∴

   

                                       8分

当时,  M,N都在AB上,如图,

作OK⊥AB于K.

∵AB=10,  OA=6,  OB=8

∴    ∴OK=

又MN=

∴

                                       9分

综上所述:

②当时,,

S随增大而增大, 当时,               10分

当时,

 

 

∴当时,                             11分

当时, 

S随增大而减小,  当时,

综上所述,当时, △MON的面积最大为.         12分

 解析:略

 

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（2011•峨眉山市二模）如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=
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．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；
（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．
①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？
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