Question

如图，在直角坐标平面内有点A（6，0），B（0，8），C（-4，0），点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
（1）求证：MN：NP为定值；
（2）若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

Answer 1

分析：（1）过点N作NH⊥x轴于点H，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN：NP为定值

5

3

．
（2）当△BNP与△MNA相似时，当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，所以△BNP∽△MNA∽△BOA，所以

AM

AN

=

AB

AO

，
所以

10-2k

5k

=

10

6

，k=

30

31

，即CM=

60

31

；当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO，根据题意可以判定不成立，所以CM=

60

31

．
（3）由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP=BN，PB=PN，NB=NP三种情况进行讨论．

解答：证明：（1）过点N作NH⊥x轴于点H，
设AN=5k，得：AH=3k，CM=2k，
①当点M在CO上时，点N在线段AB上时：
∴OH=6-3k，OM=4-2k，
∴MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴

MN

NP

=

MH

OH

=

10-5k

6-3k

=

5

3

，
②当点M在OA上时，点N在线段AB的延长线上时：
∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴

MN

NP

=

MH

OH

=

5k-10

3k-6

=

5

3

；
解：（2）当△BNP与△MNA相似时：
①当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
∴△BNP∽△MNA∽△BOA，∴

AM

AN

=

AB

AO

，
∴

10-2k

5k

=

10

6

，k=

30

31

，CM=

60

31

，
②当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，
∴∠PBA=∠PMO，


∵

∠PBA=∠BNP+∠BPN ∠PMO=∠BNP+∠BAO ∠BAO＞∠PBA＞∠BPN

∴∠PBA≠∠PMO，矛盾∴不成立；

（3）∵

PO

NH

=

2

5

，PO=

2

5

NH=

2

5

•4k，∴PO=

8

5

k，BP=8-

8

5

k，
①当点M在CO上时，BN=10-5k，
（ⅰ）BP=BN，8-

8

5

k=10-5k，k=

10

17

，CM=

20

17

；
（ⅱ）PB=PN，则∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾，∴不成立；
（ⅲ）NB=NP，则∠NBP=∠NPB
∵∠NPB=∠MNH，∠NBP=∠ANH，∴∠MNH=∠ANH
又∵NH⊥MA，可证△MNA为等腰三角形，
∴MH=AH，∴10-5k=3k，∴k=

5

4

，CM=

5

2

；
②当点M在OA上时，BN=5k-10．
（ⅰ）BP=BN，8-

8

5

k=5k-10，k=

30

11

，CM=

60

11

；
（ⅱ）PB=PN或NB=NP∵∠PBN＞90°，∴不成立．

点评：本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形--分析图形--数形结合--解决问题．