Question

如图，在平面直角坐标系中有两点A（2，0）和B（0，2），a为过点A且垂直于x轴的直线，P（x，0）为x轴的负半轴上的任一点，连接BP，过P点作PC⊥PB交直线a于点C（2，y）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若将条件“P（x，0）为x轴的负半轴上的任一点”改为“P为x轴上的任一点”，试猜想：（1）中的函数关系式是否仍然成立？请在“①：0＜x＜2”、“②：x＞2”中选择一种情形画图并计算说明；
（3）在（2）的条件下，当y=-

3

2

时，试求△PBC的面积．

Answer 1

分析：（1）由同角的余角相等，可得∠PBO=∠CPA，又由∠BOP=∠PAC=90°，可得△POB∽△CAP，由相似三角形的对应边成比例，易得

OP

OB

=

AC

AP

，即可求得y=-

1

2

x²+x；
（2）画出图形，证明方法与（1）相同，易得所得结果不变；
（3）首先代入函数解析式，即可求得x的值，然后求得两直角边的值，即可求得面积．

解答：解：（1）∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

-x

2

=

-y

2-x

，
即y=-

1

2

x²+x．（x＜0）
解法2：在Rt△PBC中运用勾股定理，也可得y=-

1

2

x²+x．

（2）（1）中的函数关系式仍然成立．
①如图：∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

x

2

=

y

2-x

，
∴y=-

1

2

x²+x．（0＜x＜2）

（3）当y=-

3

2

时，-

1

2

x²+x=-

3

2

，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴当x=3时，PB=

OB2+OP2

=

22+32

=

13

，PC=

13

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB•PC=

13

4

；
当x=-1时，PB=

5

，PC=

3 5

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB•PC=

15

4

．
故△PBC的面积为

13

4

或者

15

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意图形的变化．