Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax²+bx+c．

（1）填空：△AOB≌△　      　≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，　    　）；

（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；

（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着的增大向上移动时，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，

∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．

在△AOB与△DNA中，，

∴△AOB≌△DNA（SAS）．

同理△DNA≌△BMC．

∵点P（0，4），AP=t，

∴OA=OP﹣AP=4﹣t．

故答案是：DNA或△DPA；4﹣t；

（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4﹣t．

∵△AOB≌△BMC，

∴CM=OB=t，

∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4，

∴C（4，t）．

又抛物线y=ax²+bx+c过点O、C，

∴，

解得 b=t﹣4a；

（3）当t=1时，抛物线为y=ax²+（﹣4a）x，NA=OB=1，OA=3．

∵△AOB≌△DNA，

∴DN=OA=3，

∵D（3，4），

∴直线OD为：y=x．

联立方程组，得，

消去y，得

ax²+（﹣﹣4a）x=0，

解得 x=0或x=4+，

所以，抛物线与直线OD总有两个交点．

讨论：①当a＞0时，4+＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；

②当a＜0时，若4+＞3，则a＜﹣．

又a＜0

所以 a＜﹣．

若4+＜0，则得a＞﹣．

又a＜0，

所以﹣＜a＜0．

综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜﹣或﹣＜a＜0．

（4）抛物线为y=ax²+（﹣4a）x，则顶点坐标是（﹣，﹣（t﹣16a）²）．

又∵对称轴是直线x=﹣+2=2﹣，

∴a=t²，

∴顶点坐标为：（2﹣，﹣（1﹣4t）²），即（2﹣，﹣（t﹣）²）．

∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，

∴只与顶点坐标有关，

∴t的取值范围为：0＜t≤．