Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标，
（2）根据∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°，
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．

解答：（1）解：过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=

3

，OC=AC=1，
即B（

3

，1）；

（2）证明：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB AO=AB

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；

（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=

3

，
∴此时P的坐标为（-

3

，0）．
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2

3

，
∴此时P的坐标为（2

3

，0）．
综上，P的坐标为（-

3

，0）或（2

3

，0）．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，难度适中．