Question

如图，在△ABC中，AC=40，BC=30，AB=50．矩形DEFG的边EF在AB上，顶点D、G分别在AC、BC上．设EF=x．
（1）用含x的代数式表示DE的长；
（2）当x取什么值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）作CH⊥AB于H，交DG于T，由条件可得△CDG∽△CAB，就有

CT

CH

=

DG

AB

，由条件可以求得△ABC为Rt△，可以求出CH 的值，从而就可以表示出DE．
（2）由（1）的解析式表示出矩形的面积，然后转化为顶点式就可以求出其最大值．

解答：解：（1）如图，∵AC=40，BC=30，AB=50，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
作CH⊥AB于H，交DG于T，
∴AB．CH=AC．BC，
∴50CH=30×40，
∴CH=24．
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，TH=DE，
∴△CDG∽△CAB，
∴

CT

CH

=

DG

AB

，
∴

24-DE

24

=

x

50

，
∴DE=24-

12

25

x；

（2）设矩形的面积为S，
S=x（24-

12

25

x），
=-

12

25

x²+24x，
=-

12

25

（x²-50x），
=-

12

25

（x-25）²+300，
故当x=25时，矩形的最大面积为300．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理的运用，相似三角形的判定与性质，矩形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用及最值的确定．