Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求点B的坐标和过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点A、B的坐标求出AC的长度，再根据tan∠BAC=求出BC的长度，然后即可写出点B的坐标，设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法求解即可得到直线AB的函数表达式；
（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=，CD=BC÷tan∠ADB=3÷，可求OD=OC+CD=，所以D（ ，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得 ；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得 ．
解答：解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，
∴B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由 ，
解得k=，b=，
∴直线AB的函数表达式为y=x+；

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，
∴OD=OC+CD=1+=，
∴D（ ，0）；

（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，
则=，
解得m=，
如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则=，
解得m=．
故存在m的值是或时，使得△APQ与△ADB相似．
点评：本题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．