Question

11．【操作发现】
（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE²+AF²=EF²，即可得出结论．

解答 解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACF=∠BCD}&{\;}\\{CF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF；理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°-30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}&{\;}\\{∠DCE=∠FCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACF=∠BCD}&{\;}\\{CF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE²+DB²=DE²，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}&{\;}\\{∠DCE=∠FCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
又∵AF=DB，
∴AE²+DB²=DE²．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．