Question

(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你理由。(3分)
(2)当实数m是什么值时,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩形C的m倍?证明你的结论。(7分)

Answer 1

（1）理由见解析(2) 当m≥1时,所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形，证明见解析

（1）设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.
则 ∴x,y是方程t²－2(a+b)t+2ab=0的两根
∵⊿=4(a+b)²－8ab=4(a²+b²)＞0, ∴方程有解
∴对于长与宽分别为a,b矩形,存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形。(3分)
(2)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.
则 ∴x,y是方程t²－m(a+b)t+mab=0的两根
当⊿=m²(a+b)²－4mab＞0,即时,方程有解
∴对于长与宽分别为a,b矩形, 当时,存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形     (7分)
∵(a－b)²≥0, ∴a²+b²≥2ab  ∴a²+b²+2ab≥4ab 即(a+b)²≥4ab,,
∴的最大值为1  (9分)
∴当m≥1时,所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形。
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用；（1）由题意可知：分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽，再根据周长和面积的关系可以列出两个关系式，观察两个关系式可得一个根为xy的一元二次方程，再根据判别式可以确定方程是否有解，进而确定所求矩形是否存在；（2）方法与（1）一样．