Question

如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2厘米，现有两点E、F，分别从点B，点A同时出发，点E沿线段BA以1厘米/秒的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2厘米/秒的速度向C运动，设点E离开B的时间为t秒．
（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？

Answer 1

分析：（1）如果EF∥BC，那么根据ABCD是正方形可知BEFC是矩形，则BE=CF，据此列出关于t的方程，求出方程的解即为本问答案．
（2）如果EF与半圆相切，那么根据切线长定理，得EF=BE+CF，则EF可用含t的代数式表示，过F点作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代数式表示，根据勾股定理得EF²=EK²+FK²列出关于关于t的方程，求出方程的解，再根据1＜t＜2来进行取舍．

解答：解：（1）设E、F出发后运动了t秒时，EF∥BC（如图甲），
则BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，
解得：t=

4

3

，
答：当t=

4

3

秒时，线段EF与BC平行．

（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切（如图乙），
过F点作KF∥BC交AB于K，
则BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
∵EF与半圆相切，
∴EF=EH+FH=EB+FC=t+（4-2t）=4-t，
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²，即2t²-4t+1=0，
解得t=

2± 2

2

，
∵1＜t＜2，
∴t=

2+ 2

2

，
∴当t为

2+ 2

2

秒时，EF与半圆相切．

点评：本题主要考查了圆的综合，涉及了切线的性质、一元一次方程的应用及一元二次方程的解，由于E，F是动点，根据已知条件确定他们的大致位置是本题的关键．