Question

已知，抛物线y=ax²+bx-2与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（4，0），与y轴的交点为C。

（1）求出抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意，有解得：
∴抛物线的解析式为：，
点C的坐标为：（0，-2）；
（2）存在点P（x，），
使以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似
∵∠COB=∠AMP=90°，
∴①当时，△OCB∽△MAP；
②当时，△OCB∽△MPA；
①，∴，解得：x₁=8，x₂=1（舍）；
②，∴，解得：x₃=5，x₄=1（舍）；
综合①，②知，满足条件的点P为：P₁（8，-14），P₂（5，-2）。