Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　．                         

设点B的横坐标是x(x>0)，则，                                         

解得　，(舍去)． 

∴　点B的横坐标是．                                                                      

(2)　①　当，，时，得　　

．                                                                       

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，

．                   

由此，可求得点C的坐标为(，)，   

点A的坐标为(，)，

∵　A，B两点关于原点对称，

∴　点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．                                        　

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．                   　                        

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)

②　存在．m的值是1或-1．                                                                  

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)