Question

如图，点E和点F分别是正方形ABCD中BC边和CD边上的点，且∠EAF=45°，则

EF

AB

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：设正方形的边长为1，根据正方形的性质得AD=AB，∠BAD=90°，则可把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，如图，根据旋转的性质得AF=AP，DF=PB，∠FAP=90°，∠ABP=∠D=90°，则点P、B、C共线，再利用“SAS”证明△AEP≌△AEF，得到EF=EP，易得△CEF的周长=2，设CE=x，EF=y，CF=2-x-y，
利用勾股定理得x²+（2-x-y）²=y²，整理得x²+（y-2）x+2-2y=0，根据判别式的意义有△=（y+2）²-8≥0，解得y≥2

2

-2，即EF的最小值为2

2

-2，
所以可得

EF

AB

的最小值为2

2

-2．

解答：解：设正方形的边长为1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，如图，
∴AF=AP，DF=PB，∠FAP=90°，∠ABP=∠D=90°，
∴点P、B、C共线，
∵∠FAE=45°，
∴∠PAE=45°，
在△AEP和△AEF中，

AE=AE ∠PAE=∠FAE AP=AF

，
∴△AEP≌△AEF（SAS），
∴EF=EP，
而EP=EB+BP=EB+DF，
∴EF=EB+FD，
∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+EC+CF+FD=2BC=2，
设CE=x，EF=y，CF=2-x-y，
∵CE²+CF²=EF²，
∴x²+（2-x-y）²=y²，
整理得x²+（y-2）x+2-2y=0，
△=（y-2）²-4（2-2y）
=（y+2）²-8≥0，
而y＞0，
∴y≥2

2

-2，
∴EF的最小值为2

2

-2，
∴

EF

AB

的最小值为2

2

-2．
故答案为2

2

-2．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质和正方形的性质．