题目内容

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．

解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AD=BD
∴AD=BD= $\text{[math]}$ AB=5 $\text{[math]}$ （cm）
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴ $\text{[math]}$ AC•x+ $\text{[math]}$ BC•x= $\text{[math]}$ AC•BC
∴ $\text{[math]}$ ×6•x+ $\text{[math]}$ ×8×x= $\text{[math]}$ ×6×8
∴x= $\text{[math]}$
∴CE= $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC
∴DE：BE=AE： $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ：8
∴AE= $\text{[math]}$ ，BE=AB-AE=10- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴DE= $\text{[math]}$
∴CD=CE+DE= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =7 $\text{[math]}$ （cm）．
答：弦AD，CD的长依次为5 $\text{[math]}$ cm，7 $\text{[math]}$ cm．
分析：根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长，过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF=EG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．
点评：本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．