题目内容
如图，已知二次函数y=-
x2+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y=
x的图象交于O、A两点．
（1）求c的值；
（2）求A点的坐标；
（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图象交于点E，求线段EF的最大长度．
解：（1）（0，0）代入y=-x2+4x+c
解得：c=0．
（2）根据题意得到
，
解得
，
则A（7，
）．
（3）设此直线为x-a，则E（a，-
+4a），F（a，
），
∴EF=-a2+4a-a=-a2+a
=-（a-）2+
∴当a=时，EF最大长度为．
分析：（1）二次函数y=-x2+4x+c的图象经过坐标原点，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解抛物线的解析式与函数y=x的解析式组成的方程组就可以求出A点的坐标．
（3）直线OA的解析式可以利用待定系数法求出函数的解析式，设E点的横坐标是x，把x代入抛物线的解析式，以及直线OA的解析式，就可以求出两个函数交点的纵坐标，纵坐标的差就是EF的长，EF的长可以表示成x的函数．可以转化为函数的最值问题．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点的求法，最值问题一般是转化为函数的最值问题．
x2+4x+c解得：c=0．
（2）根据题意得到
，解得
，则A（7，
）．（3）设此直线为x-a，则E（a，-
+4a），F（a，），∴EF=-
a2+4a-a=-a2+a=-
（a-）2+∴当a=
时，EF最大长度为．分析：（1）二次函数y=-
x2+4x+c的图象经过坐标原点，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．（2）解抛物线的解析式与函数y=
x的解析式组成的方程组就可以求出A点的坐标．（3）直线OA的解析式可以利用待定系数法求出函数的解析式，设E点的横坐标是x，把x代入抛物线的解析式，以及直线OA的解析式，就可以求出两个函数交点的纵坐标，纵坐标的差就是EF的长，EF的长可以表示成x的函数．可以转化为函数的最值问题．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点的求法，最值问题一般是转化为函数的最值问题．
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