题目内容
如图1，已知抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
？
【答案】分析：（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴为x=1，并根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后根据点P到直线x=1与x轴的距离相等列出方程，再解绝对值方程即可得解；
（3）根据抛物线解析式求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，并利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，判断出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出点E的坐标，从而求出EG的长度，过F作FM⊥x轴于点M，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EM的长度，即△EFG边EG上的高，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
∴OA=2，
∴点A（-2，0），B（4，0），
把点A、B的坐标代入抛物线y=
x2+bx+c得，
，
解得
，
∴抛物线的函数表达式为y=
x2-x-4；
（2）抛物线对称轴为x=-
=-
=1，
设点P坐标为（x，
x2-x-4），
∵⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切，
∴|x-1|=|
x2-x-4|，
即x-1=
x2-x-4①或x-1=-（
x2-x-4）②，
解方程①，整理得，x2-4x-6=0，
解得x1=2+
，x2=2-
，
当x1=2+
时，y1=2+
-1=1+
，
当x2=2-
时，y2=2-
-1=1-
，
此时点P的坐标为（2+
，1+
）或（2-
，1-
），
解方程②，整理得，x2-10=0，
解得x3=
，x4=-
，
当x3=
时，y3=1-
，
当x4=-
时，y4=1+
，
此时，点P的坐标为（
，1-
）或（-
，1+
），
综上所述，点P的坐标为（2+
，1+
）或（2-
，1-
）或（
，1-
）或（-
，1+
）；
（3）抛物线解析式当x=0时，y=-4，
所以，点C的坐标为（0，-4），
又∵AB=OA+OB=2+4=6，
∴S△ABC=
×6×4=12，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得
，
所以，直线AC的解析式为y=-2x-4，
∵点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
∴AE=t，点E的坐标为（-2+t，0），
∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图，过点F作FM⊥x轴于点M，
∵点F从点B出发，以每秒
个单位长度的速度向终点C运动，
∴BF=
t，
∴BM=
×
t=t，
∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
即点F到EG的距离为（6-2t），
∴S△EFG=
×|-2t|×（6-2t）=-2t2+6t，
又△EFG的面积是△ABC的面积的
，
∴-2t2+6t=
×12，
整理得，t2-3t+2=0，
解得t1=1，t2=2，
∴当t为1秒或2秒时，△EFG的面积是△ABC的面积的
．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与一次函数解析式），直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．
（2）根据抛物线解析式求出对称轴为x=1，并根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后根据点P到直线x=1与x轴的距离相等列出方程，再解绝对值方程即可得解；
（3）根据抛物线解析式求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，并利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，判断出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出点E的坐标，从而求出EG的长度，过F作FM⊥x轴于点M，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EM的长度，即△EFG边EG上的高，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
∴OA=2，
∴点A（-2，0），B（4，0），
把点A、B的坐标代入抛物线y=
x2+bx+c得，
，解得
，∴抛物线的函数表达式为y=
x2-x-4；（2）抛物线对称轴为x=-
=-
=1，设点P坐标为（x，
x2-x-4），∵⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切，
∴|x-1|=|
x2-x-4|，即x-1=
x2-x-4①或x-1=-（
x2-x-4）②，解方程①，整理得，x2-4x-6=0，
解得x1=2+
，x2=2-
，当x1=2+
时，y1=2+
-1=1+
，当x2=2-
时，y2=2-
-1=1-
，此时点P的坐标为（2+
，1+
）或（2-
，1-
），解方程②，整理得，x2-10=0，
解得x3=
，x4=-
，当x3=
时，y3=1-
，当x4=-
时，y4=1+
，此时，点P的坐标为（
，1-
）或（-
，1+
），综上所述，点P的坐标为（2+
，1+
）或（2-
，1-
）或（
，1-
）或（-
，1+
）；（3）抛物线解析式当x=0时，y=-4，
所以，点C的坐标为（0，-4），
又∵AB=OA+OB=2+4=6，
∴S△ABC=
×6×4=12，设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得
，所以，直线AC的解析式为y=-2x-4，
∵点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
∴AE=t，点E的坐标为（-2+t，0），
∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图，过点F作FM⊥x轴于点M，
∵点F从点B出发，以每秒
个单位长度的速度向终点C运动，∴BF=
t，∴BM=
×
t=t，∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
即点F到EG的距离为（6-2t），
∴S△EFG=
×|-2t|×（6-2t）=-2t2+6t，又△EFG的面积是△ABC的面积的
，∴-2t2+6t=
×12，整理得，t2-3t+2=0，
解得t1=1，t2=2，
∴当t为1秒或2秒时，△EFG的面积是△ABC的面积的
．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与一次函数解析式），直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．
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