Question

（2013•金平区模拟）如图，直线l：y=-2x+4交y轴于A点，交x轴于B点，四边形OACD为正方形，点P从D点开始沿x轴向点O以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B开始沿BA向点A以每秒

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个单位的速度移动，如果P，Q分别从D，B同时出发．
（1）设△PAQ的面积等于S，运动时间为t秒，当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系；
（2）当点Q移到AB的中点E时，P点停止移动．直线l向右平移m个单位，得到直线l₁．
如图，直线l₁交y轴于A₁点，交x轴于B₁点，Q₁为A₁B₁的中点．△PAQ₁的面积S₁是否与m的值有关？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A和B点的坐标，当0＜t＜2时，DP=2t，BQ=

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t，在Rt△AOB中，求出AB的长度，作QF⊥OB于F，结合题干条件，证明△QFB∽△AOB，用t表示出QF，S=S_△PBA-S_△PBQ，进而求出S与t之间的函数关系；
（2）方法一、设OD的中点为G，则当点Q移到AB的中点E时，P点与G点重合，△PAQ₁的面积即为△GAQ₁，利用题干条件求出△GAQ₁的面积是个常数即可；
方法二：作Q₁M⊥OB₁于M，根据题干条件用m分别表示出OB₁、OA₁、MB₁、OM，再根据S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1，求出S₁是一个常数即可；

解答：解：（1）∵直线l：y=-2x+4交y轴于A点，交x轴于B点，
∴A（0，4），B（2，0）
∴OA=4，OB=2，
依题意，得OD=OA=4，
当0＜t＜2时，DP=2t，BQ=

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t，
∴PB=DB-DP=6-2t，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=2

5

，
作QF⊥OB于F，
∵AO⊥OB，
∴AO∥QF，
∴△QFB∽△AOB，
∴

QF

AO

=

BQ

AB

，
∴QF=

BQ

AB

×AO=2t，
S=

1

2

PB•OA-

1

2

PB•QF=

1

2

PB(OA-QF)，
∴S=S_△PBA-S_△PBQ=

1

2

×(6-2t)×(4-2t)，
∴S=2t²-10t+12．

（2）△PAQ₁的面积S₁与m的值无关，S₁=4．理由如下：
设OD的中点为G，则当点Q移到AB的中点E时，P点与G点重合，
△PAQ₁的面积即为△GAQ₁．
解法一：∵Q₁为A₁B₁的中点，
∴OQ₁=B₁Q₁，
∴∠B₁OQ₁=∠OB₁Q₁，
∵l∥l₁，
∴∠ABO=∠OB₁Q₁，
∵OG=OB=2，AO⊥OB，
∴AG=AB，
∴∠ABO=∠AGO，
∴∠B₁OQ₁=∠AGO，
∴AG∥OQ₁，
∴△PAQ₁的面积S₁=S_△AGO=

1

2

×OG•OA=4，
∴S₁的值为4，与m的值无关．
解法二：依题意，得OB₁=2+m，
∵l∥l₁，
∴△A₁0B₁∽△AOB，
∴

OA1

OB1

=

OA

OB

，
∴OA1=

OA

OB

×OB1=

4

2

×(2+m)=4+2m，
如图，作Q₁M⊥OB₁于M，
∵AO⊥OB，
∴AO∥Q₁M，
∵Q₁为A₁B₁的中点，
∴MB1=

1

2

OB1=1+

1

2

m，Q1M=

1

2

OA1=2+m，
∴OM=OB1-B1M=1+

1

2

m，
∴S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1
=

1

2

×2×4+

1

2

(4+2+m)(

1

2

+m)-

1

2

(2+1+

1

2

m)(2+m)
=4                                               
∴S₁的值为4，与m的值无关．

点评：本题主要考查一次函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质以及分割法求三角形的面积，此题难度较大，特别是第二问证明S1的面积是一个常数，但是解答此问的时候也不止一种方法，希望同学们根据自己喜欢的方法解答即可．