Question

如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）PD与圆O相切。理由如下：

如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，∴∠DAE=90°。∴∠E+∠ADE=90°。
∵∠PDA=∠ABD=∠E，∴∠PDA+∠ADE=90°。
∴PD⊥DO。
∴PD与圆O相切于点D。
（2）∵tan∠ADB=，∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，∴PA=（）k，
∴PH=k。
∴在Rt△PDH中，。∴∠P=30°，∠PDH=60°。
∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°。
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE•cos30°=。
（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k）。
又∵PD²=PA×PC，∴。
解得：k=。
∴AC=3k+（﹣4k）=+7，
∴S_{四边形ABCD}=BD•AC=××（+7）=900+。

（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D。
（2）由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=。
（3）由（2）易得（﹣4k），又由PD²=PA×PC，可得方程：，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积。