Question

如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF　②CE=AB+AE　③∠BDC=∠BAC　④∠DAF+∠CBD=90°其中正确的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

A
分析：由垂直平分线可确定三角形为等腰三角形，进而求出三角形全等，再利用全等，得出对应角，对应边相等，再求解．
解答：解：过点D作DG⊥BC
∵DG垂直平分BC，
∴BD=CD
角平分线到角两边的距离相等，∴DE=DF，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠BDF=∠CDE，CE=BF，∠FBD=∠DCE，
∵DE=DF，且DE⊥AC，DF⊥AB
∵AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED，
∴AE=AF，
∴CE=BF=AB+AF=AB+AE
∴∠BDC=∠180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（∠DBC+∠ACB+∠DCA）=180°-（∠FBD+∠DBC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=∠BAC
∴①②③正确，故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的判定，会利用全等三角形的性质建立等效平衡．