题目内容
（2012•闸北区一模）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=20cm，AC=15cm；AD=12cm，点E在AB边上，点F、G在BC边上，点H不在△ABC外．如果四边形EFGH是符合要求的最大的正方形，那么它的边长是
或3
或3cm．
| 300 |
| 37 |
| 300 |
| 37 |
分析：根据题意画出图形（有两种情况），如果四边形EFGH是符合要求的最大的正方则点H，在AC上，由勾股定理先求出BD和CD的值，设正方形边长为x，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出x．
解答：解：①当AD在三角形内部是，
∵AD⊥BC于点，
∴BD=
=
=16cm，
∴CD=
=
=9cm，
∴BC=BD+CD=25，
设正方形边长为x，设正方形交AD于点P，则AP=（12-x）cm，
∵EH∥PG，
∴△AEH∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解出：x=
；
②当AD在BC延长线上时，GD=9，BD=16，设正方形边长为x，设正方形交AB于点P，
则BF=（7-x）cm，
∴
=
，
∴x=3，
故答案为：
或3．
∵AD⊥BC于点，
∴BD=
| AB 2-AD 2 |
| 256 |
∴CD=
| AC 2-AD 2 |
| 81 |
∴BC=BD+CD=25，
设正方形边长为x，设正方形交AD于点P，则AP=（12-x）cm，
∵EH∥PG，
∴△AEH∽△ABC，
∴
| AP |
| AD |
| EH |
| BC |
即
| 12-x |
| 12 |
| x |
| 25 |
解出：x=
| 300 |
| 37 |
②当AD在BC延长线上时，GD=9，BD=16，设正方形边长为x，设正方形交AB于点P，
则BF=（7-x）cm，
∴
| 7-x |
| 16 |
| x |
| 12 |
∴x=3，
故答案为：
| 300 |
| 37 |
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质在实际问题的应用，解题的关键是正确的画出图形．
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