Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．
①求线段BF的长度；
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先在CD上截取点E，使AE=AB，得到∠AEB=∠ABE，再根据AB∥CD，得出∠ABE=∠BEC，即可证出EB平分∠AEC；
（2）①根据CE∥BF，得出

CP

BP

=

CE

BF

，再根据BC=2，即可求出BF的长；
②根据

CP

BP

和BC的值，得出PC和PB的长，根据勾股定理得出EP的长，在Rt△BPF中，求出tan∠BPF=

3

，得出∠BPF=60°，即可证出△PBF≌△PEA和∠APF的度数．

解答：解：（1）在CD上截取点E，使AE=AB，
则∠AEB=∠ABE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC；
（2）①∵CE∥BF，
∴

CP

BP

=

CE

BF

=

1

2

，
在Rt△ADE中，
DE=

AE2- AD2

=

22-( 3 )2

=1，
∴CE=1，
∴BF=2；
②能；
∵

CP

BP

=

1

2

，BC=

3

，
∴PC=

3

3

，PB=

2 3

3

，
∴EP=

PC2+EC2

=

2 3

3

，
∴BP=EP，
∵PB⊥AF，AB=BF，
∴PA=PF，
在Rt△BPF中，
∵tan∠BPF=

BF

BP

=

2

2 3 3

=

3

，
∴∠BPF=60°，
∴∠BPA=∠APE=60°，
∴△PBF≌△PEA，∠APF=120°，
∴△PAE能由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，旋转的度数120°．

点评：此题考查了旋转的性质，用到的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、角平分线的性质等，解题的关键是证出△PBF≌△PEA，难度适中．