题目内容

先阅读，再填空，再解答后面的相关问题：
（1）方程x²-x-2=0的根是x₁=2，x₂=-1，则x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2
（2）方程2x²-3x-5=0的根是 $数学公式$ ，则 $数学公式$
（3）方程3x²-2x-1=0的根是x₁=，x₂=，则x₁+x₂=，x₁•x₂=．
根据对以上（1）、（2）、（3）的观察、思考，你能否猜出：如果关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数且n²-4mp≥0）的两根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂与系数m、n、p有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．

解：（1）∵方程x²-x-2=0的二次项系数是1、一次项系数为-1，常数项为-2，
方程的根是x₁=2，x₂=-1，x₁+x₂=1，x₁•x₂=-2，
∴方程的两根x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =1，x₁•x₂= $\text{[math]}$ =-2；
（2）∵方程2x²-3x-5=0的二次项系数是2、一次项系数为-3，常数项为-5，
方程的根是x₁=-1，x₂= $\text{[math]}$ ，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴方程的两根x₁+x₂=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
（3）∵程3x²-2x-1=0的根是x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=1，
∵x₁+x₂=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数且n²-4mp≥0）的两根x₁、x₂，
则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．
分析：先由（1）、（2）、（3）得出方程的两根与其系数的关系，找出规律即可得出关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数且n²-4mp≥0）的两根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁•x₂与系数m、n、p的关系．
点评：本题考查的是根与系数的关系，由（1）、（2）、（3）中各方程的两根之和与两根之积与方程系数的关系找出规律是解答此题的关键．