题目内容
如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=
，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4
，∴
。（2分）
（2）∵AP=
，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴
，即等边△PMN的边长为
.（4分）
（3）①当
时，如图AP=，∴
∴
，∴
，
∴
.
过F作FQ⊥0B于Q，则QN=4，∴EF=OQ=
.
等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S1，
∴
∵＞0，∴S1随t的增大而增大，
∴t=1时，，∴S1的最大值为
.（7分）
②当
＜t＜2时，如图
在△EGK中，GE=
，∴EK=
，
∴S△GEK=
.
∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S2，
∴
.
∵
，对称轴为
，
∴时，
的最大值为
.（9分）
当时，
。
综上可知：当时，S的最大值为.（10分）
（4）过R作RH⊥OB于H，RH=
，HN=4，
OH=，OD=12，DH=
，
①OR=OD=12时，
，
∴
，
，∴
＞2，不合题意舍去。
②DR=OD=12时，
，
∴
，∴
＞2，或
＜0，都不合题意舍去。
③OR=DR时，H为CD中点，OH=6，∴
，∴
。
综上所述，时，△ODR是等腰三角形。（12分）
解析
，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．