Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

    （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

    （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

 

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC

∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

        ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形

        ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

        又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°

∴△PEQ≌△NFM．

   （2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝＝

∵△PEQ≌△NFM

∴MN＝PQ＝

又∵PQ⊥MN

∴S＝＝＝t²－t＋

∵0≤t≤2

∴当t＝1时，S_最小值＝2．

综上：S＝t²－t＋，S的最小值为2．