Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.

1.求抛物线的解析式；

2.求证：∠CFE=∠AFE；

3.在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.

2.见解析

3.见解析

【解析】解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

则：……………………………………1分

解得…………………………………2分

∴ 此抛物线的解析式为 ……………3分

（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.

∵抛物线的解析式可变形为

∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.

设直线AC的解析式为,

则有，解得.

∴  直线AC的解析式为…………………………………4分

当x=4时，

∴点E的坐标为（4，4），

∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）

设直线FC的解析式为,

则有，解得.

∴  直线AC的解析式为………………………………5分

∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.

当y=6时，则有解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………6分

（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）

∴

∵又A的坐标为（0，6），则，…………………7分

又DF=6，

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，

又由（2）可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

则,即,解得P1A=8.

∴O P1=8－6=2

∴P1的坐标为（0，－2）…………………………………………………8分

若△AFP2∽△FDC

则,即,解得P2A=.

∴O P2=－6=.

∴P2的坐标为（0，－）………………………………………………9分

所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.