题目内容
【题目】定义：当点P在射线OA上时，把
的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝
．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为
．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】（1）B；（2）①证明见解析；②y＝0（
≤x≤
）或y＝2x﹣
（＜x≤）．
【解析】
（1）根据射影值的定义一一判断即可．
（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△BOH∽△COB，由相似三角形的性质可得∠BHO＝∠CBO＝90°，根据切线的判定定理可得答案；
②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．分两种情况考虑：当∠DOB＜90°时；当∠BOD＝90°时．
解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形；
②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；
③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；
故答案为：B．
（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为，
∴
＝，
＝，CA＝OA＝OB＝1，
∴
＝，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，
当∠DOB＜90°时，设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DN＝OC×DM，
∴DN＝2h，
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h得：y＝2x﹣．
如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DO＝OC×DM，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴OD＝2DM，
∴sin∠DOM＝，
∴∠DOM＝30°，
设DM＝h，则OD＝2h，OM＝
h，
∴h2+
＝1+4h2，
∴h＝，
∴OM＝，
当点B在OC上时，OD＝，
综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．
故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．
