Question

我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3），…，如此进行下去，直至得图（n）．

（1）将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O₁的坐标为（x₁，4），则x₁=

 

；
（2）图（n）的对称中心的横坐标为

 

．

Answer 1

分析：（1）过点O₁作O₁M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO₁M=30°，再由勾股定理求出O₁M=2

3

，即x₁=2

3

；
（2）结合图形分别得出图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（n）的对称中心的横坐标．

解答：解：
（1）如图，过点O₁作O₁M⊥y轴于点M，
∵正六边形的中心角=360°÷6=60°，O₁C=O₁B=O₁A=4，
∴∠BO₁M=30°，CM=2，
∴O₁M=

O1C2-CM2

=

42-22

=2

3

，
∴x₁=2

3

；
（2）由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为

1

2

(4

3

×2)=4

3

，
图（3）的对称中心的横坐标为

1

2

(4

3

×3)=6

3

，
图（4）的对称中心的横坐标为

1

2

(4

3

×4)=8

3

，
…
∴图（n）的对称中心的横坐标为

1

2

(4n

3

)=2n

3

．

点评：本题借助正六边形考查了规律型：图形的变化类问题，难度适中．关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律；（2）要注意求的是整个图形的对称中心的横坐标，而不是第n个正六边形的对称中心的横坐标，这也是本题容易出错的地方．