Question

如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点。

（1）求证：四边形MENF是平行四边形；

（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形MENF是菱形？

（3）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？

Answer 1

（1）证明：∵N为BC的中点，E、F分别为BM、CM的E中点，

∴NE∥MC，且NE=MC=MF,

∴四边形MENF是平行四边形；---3分

（2）若四边形MENF是菱形，则ME=MF,即MB=MC，则∠MBC=∠MCB，

     ∵AD∥BC,

     ∴∠AMB=∠MBC, ∠DMC=∠MCB,

∴∠AMB=∠DMC,

又∵M为AD的中点，

∴AM=DM,

由可得△AMB≌△DMC，

∴AB=DC.

即：当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形； ---3分

（3）∵NE,NF为△MBC的中位线，

∴,

要使，即，

∴，而，

设AD与BC之间的距离为，

则 ，

即,得.

∴当时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的。---4分