题目内容
方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．
那么请你帮设计人员计算一下：△ABC中，C到AB的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN面积最大，此矩形的高DN应为何值？
在实际施工时，发现在AB上距B点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．
方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．
解：（1）如图，∵AB是直径，且AB=100，AC=80，∴
，∴
，即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距离为48米．
（2）设DN为x米，则∵△CNF∽△CAB，
∴
．∴
，∴
，当x=24时，游乐场面积最大．
（3）当游乐场面积最大时，DN=EF=24米，
，
．易得BE=18米，AD=32米．
则BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案．
由圆的对称性，可把△ABC划分到半圆的左边．
分析：（1）首先利用勾股定理得出BC的长，进而利用得出△ABC的面积求出即可；
（2）利用△CNF∽△CAB，得出
，进而得出矩形面积表达式，利用二次函数最值求出即可；（3）利用由圆的对称性，以AB的垂直平分线为对称轴作C的对称点C′，出答案即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的应用以及二次函数最值求法，利用相似三角形的性质得出比例式进而求出是解题关键．
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