题目内容

如图，A、B是直线l上的两点，AB=4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．
（1）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（2）QE恰好平分△APQ的面积时，试求QE的长是多少厘米？

解：（1）依题可得BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴△PCE∽△PAB， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EC= $\text{[math]}$ ．
QE=QC-EC=2t- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
作PF⊥l，垂足为F．则PF=PB•sin60°= $\text{[math]}$ t
∴S= $\text{[math]}$ QE•PF= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （t²-2t+4）（t＞2）．

（2）此时，C为PB中点，则t-2=2，∴t=4．
∴QE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6（厘米）．
分析：（1）本题关键是得出S与t的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE为底边，过P引l的垂线作高，根据P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE的长，我们可以根据Q的速度用时间t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因为EC∥BA，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE的长，根据三角形PEC和PAB相似，可得出关于CE、AB、PC、BC的比例关系式，有BP、BC、AB的值，那么我们就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根据三角形的面积公式得出关于S与t的函数关系式了．
（2）如果QE恰好平分三角形APQ的面积，那么此时P到CD和CD到l之间的距离就相等，那么C就是PB的中点，可根据BP=2BC求出t的值，然后根据（1）中得出的表示QE的式子，将t代入即可得出QE的值．
点评：本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE的式子是解题的关键所在．